Exposants

PUISSANCE D'UN NOMBRE RELATIF

1° Notation : aⁿ (n entier positif)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 se note 2⁵

Le nombre 32 soit 2⁵ est une puissance de 2 ; 5 est l'exposant, on lit '2 exposant 5'

Définition: a désigne un nombre relatif quelconque et n un nombre entier positif.

pour n ≥ 2	a x a x a.........x a = aⁿ (n facteurs égaux à 'a')
pour n = 1	a¹ = a
convention: pour n = 0 et a ≠ 0 (0⁰ n'existe pas)	a⁰ = 1

remarques:

a) (-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = - 27

le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

(-3)⁴ = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81

le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.

b)

2° Notation a^-n (n entier positif)

Définition: a désigne un nombre relatif NON NUL et n un nombre entier positif.

a^-n désigne l'inverse de aⁿ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
(n facteurs égaux à a)

a^-1 désigne l'inverse de a $a^{-1} = \frac{1}{a}$

Exemples:

Exemples:

attention:

- 3² est l'opposé de 3² ; 3² = 9 et -3² = - 9 ; mais (-3)² = (-3) x (-3) = 9 .

Ne pas confondre:

a x a = a² et a + a = 2a

a x a x a = a³ et a + a + a = 3a

3^-1 est l'inverse de 3 ; -3 est l'opposé de 3.

et se rappeler que:

2 + 3² = 2 + 9 = 11 ; 2 x 3² = 2 x 9 = 18 ;

(2 + 3)² = 5² = 25 ; (2 x 3)² = 6²

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à un, on écrit :

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \operatorname{facteurs}}

Cas particuliers

$a^2=a\times a$

est appelé le carré de

a

, car l'aire d'un carré de côté

a

est

a^2

$a^3=a \times a \times a$

est appelé le cube de

a

, car le volume d'un cube de côté

a

est

a^3

En outre, par convention :

\displaystyle a^1=a

et, si $a$ est inversible (voir ci-dessous) :

\displaystyle a^0=1

Notons que :

Dans cette dernière convention

1

représente l'élément neutre pour la multiplication considérée.

Parmi les nombres réels, les éléments inversibles sont les éléments non nuls et l'inverse d'un nombre $a$ est encore noté $\frac1a$ .

Alors $a^{-n} = \frac1{a^n} = \frac1{a\times ... \times a}$

Théorèmes

Dans les théorèmes essentiels qui suivent $a$ , $b$ ... désignent des éléments d'un même ensemble et tels qu'ils soient multipliables par eux-mêmes et multipliables entre eux, tandis que $m$ , $n$ ... désignent (a priori) des entiers strictement positifs.

En outre $a$ (ainsi que $b$ dans le dernier théorème) doit être inversible, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Produit de puissances d'un même élément —

a^{n+m} = a^n\times a^m

Quotient de puissances d'un même élément — Si a est inversible :

a^{n-m} = \dfrac{a^n}{a^m}

Puissance de puissance d'un élément —

\left(a^n\right)^m = a^{n\times m}

Produit de deux éléments élevés à la même puissance (si le produit est commutatif) —

(a\times b)^{n} = a^{n}\times b^{n}